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设曲线y=ax^2(x>=0,常数a>0)与曲线y=1-x^2交于点A,过坐标原点O和点A的直线设曲线y=ax^2(a>0,x>=0)与曲线y=1-x^2交于点A,过坐标原点o和A的直线与y=ax^2围成一平面,问:(1)该平面绕X轴旋转一周所称的旋转

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设曲线y=ax^2(x>=0,常数a>0)与曲线y=1-x^2交于点A,过坐标原点O和点A的直线
设曲线y=ax^2(a>0,x>=0)与曲线y=1-x^2交于点A,过坐标原点o和A的直线与y=ax^2围成一平面,问:(1)该平面绕X轴旋转一周所称的旋转体的体积V(2)a为何值时,V最大
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答案和解析
先求A点坐标,联立两个方程解得A点坐标为(1/√(a+1),a/(a+1)).积分区域为[0,1/√(a+1)].直线OA的方程为y=ax/√(a+1),线段OA、x轴和直线x=1/√(a+1)所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体(就是一个圆锥)的体积为V1=1/3*π*a²/√((a+1)²√(a+1)).y=ax²、x轴和直线x=1/√(a+1)所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2=∫(0,1/√(a+1))πy²dx=π∫(0,1/√(a+1))a²x^4dx=1/5*πa²/((a+1)²√(a+1)),V1-V2即为所求旋转体体积.故V=V1-V2=2/15*πa²/((a+1)²√(a+1)),对V求导的V‘=πa(a+1)^(-7/2)(4/15-a/15),令V’=0,解得a=4.所以当a=4时,V有最大值,最大值为32π/(375√5).
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