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如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B、C的坐标分别为(-1,0),(5,0),(0,2).(1)求过A、B、C三点的抛物线解析式;(2)若点P从A点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度
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如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B、C的坐标分别为(-1,0),(5,0) ,(0,2). (1)求过A、B、C三点的抛物线解析式; (2)若点P从A点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动,连接PC并延长到点E,使CE=PC,将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF,连接FB.若点P运动的时间为t秒,(0≤t≤6)设△PBF的面积为S; ①求S与t的函数关系式; ②当t是多少时,△PBF的面积最大,最大面积是多少? (3)点P在移动的过程中,△PBF能否成为直角三角形?若能,直接写出点F的坐标;若不能,请说明理由. |
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答案和解析
(1)(法一)设抛物线的解析式为y=ax 2 +bx+c(a≠0),把A(-1,0),B(5,0),C(0,2)三点代入解析式得:
解得
∴ y=-
(法二)设抛物线的解析式为y=a(x-5)(x+1), 把(0,2)代入解析式得:2=-5a, ∴ a=-
∴ y=-
即 y=-
(2)①过点F作FD⊥x轴于D, 当点P在原点左侧时,BP=6-t,OP=1-t; 在Rt△POC中,∠PCO+∠CPO=90°, ∵∠FPD+∠CPO=90°, ∴∠PCO=∠FPD; ∵∠POC=∠FDP, ∴△CPO ∽ △PFD,(5分) ∴
∵PF=PE=2PC, ∴FD=2PO=2(1-t);(6分) ∴S △PBF =
当点P在原点右侧时,OP=t-1,BP=6-t; ∵△CPO ∽ △PFD,(9分) ∴FD=2(t-1); ∴S △PBF =
②当0≤t<1时,S=t 2 -7t+6; 此时t在t=3.5的左侧,S随t的增大而减小,则有: 当t=0时,Smax=0-7×0+6=6; 当1<t<6时,S=-t 2 +7t-6; 由于1<3.5<6,故当t=3.5时,Smax=-3.5×3.5+7×3.5+6=6.25; 综上所述,当t=3.5时,面积最大,且最大值为6.25. (3)能;(12分) ①若F为直角顶点,过F作FD⊥x轴于D,由(2)可知BP=6-t,DP=2OC=4, 在Rt△OCP中,OP=t-1, 由勾股定理易求得CP 2 =t 2 -2t+5,那 么PF 2 =(2CP) 2 =4(t 2 -2t+5); 在Rt△PFB中,FD⊥PB, 由射影定理可求得PB=PF 2 ÷PD=t 2 -2t+5, 而PB的另一个表达式为:PB=6-t, 联立两式可得t 2 -2t+5=6-t,即t=
P点坐标为(
则F点坐标为:(
②B为直角顶点,那么此时的情况与(2)题类似,△PFB ∽ △CPO,且相似比为2, 那么BP=2OC=4,即OP=OB-BP=1,此时t=2, P点坐标为(1,0).FD=2(t-1)=2, 则F点坐标为(5,2).(14分) |
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