∫∫∫（x^2+y^2+z)dv曲面是z=1-x^2-y^2的上侧（z>=0）,为什么不可以吧z=1-x^2-y^2直接带入原式子变成∫∫∫（x^2+y^2+1-x^2-y^2)dv?能用球坐标能做吗?改怎么积分呢?

Question

∫∫∫（x^2+y^2+z) dv
曲面是z=1-x^2-y^2 的上侧（z>=0）,为什么不可以吧z=1-x^2-y^2直接带入原式子变成∫∫∫（x^2+y^2+1-x^2-y^2) dv?能用球坐标能做吗?改怎么积分呢?

Answer 1

1、不可以把积分变为 ∫∫∫(x^2+y^2+1-x^2-y^2) dv,因为这是三重积分,不是曲面积分,三重积分的积分范围是在z=1-x^2-y^2与xoy面所围的区域内部,在这里面z=1-x^2-y^2并不成立,因此不能换；
2、本题用球坐标并不方便,且由于被积函数中有x²+y²,因此截面法（就是那个人说的先2后1）也不是特别理想,本题推荐采用柱坐标.
∫∫∫(x^2+y^2+z) dv
=∫∫∫ (r²+z)r dzdrdθ
=∫[0→2π] dθ∫[0→1] dr∫[0→1-r²] (r³+zr) dz
=.
下面我想你应该会了.
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