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如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E
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如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连结CF. (1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长; (2)当DE=8时,求线段EF的长; (3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由. |
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答案和解析
;3;存在 |
试题分析:(1)连结BC, ∵A(10,0),∴OA=10,CA=5, ∵∠AOB=30°, ∴∠ACB="2∠AOB=60°," ∴弧AB的长= ;……4分 (2)连结OD, ∵OA是⊙C直径,∴∠OBA=90°, 又∵AB=BD, ∴OB是AD的垂直平分线, ∴OD=OA=10, 在Rt△ODE中, OE= , ∴AE=AO-OE=10-6=4, 由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA, 得△OEF∽△DEA, ∴ ,即 ,∴EF=3;……8分 (3)设OE=x, ①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,点E为OC中点,即OE= , ∴E1( ,0); 当∠ECF=∠OAB时,有CE=5-x,AE=10-x, ∴CF∥AB,有CF= , ∵△ECF∽△EAD, ∴ ,即 ,解得: , ∴E2( ,0); ②当交点E在点C的右侧时, ∵∠ECF>∠BOA, ∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO, 连结BE, ∵BE为Rt△ADE斜边上的中线, ∴BE=AB=BD, ∴∠BEA=∠BAO, ∴∠BEA=∠ECF, ∴CF∥BE,∴ , ∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠, ∴△CEF∽△AED,∴ , 而AD=2BE,∴ , 即 ,解得 , <0(舍去), ∴E3( ,0); ③当交点E在点O的左侧时, ∵∠BOA=∠EOF>∠ECF. ∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO 连结BE,得BE= =AB,∠BEA=∠BAO ∴∠ECF=∠BEA, ∴CF∥BE, ∴ , 又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠, ∴△CEF∽△AED,∴ , 而AD=2BE,∴ , ∴ ,解得 , <0(舍去), ∵点E在x轴负半轴上,∴E4( ,0), 综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为: ( ,0)、 ( ,0)、 ( ,0)、 ( ,0).(12分) 点评:解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质 相关问答
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