已知动点P1（x1，cosx1），P2（x2，cosx2），O为坐标原点，则当-1≤x1≤x2≤1时，下列说法正确的是（）A．|OP1|有最小值1B．|OP1|有最小值，且最小值小于1C．OP1•OP2＞0恒成立D．存在x1，x2使

Question

已知动点P₁（x₁，cosx₁），P₂（x₂，cosx₂），O为坐标原点，则当-1≤x₁≤x₂≤1时，下列说法正确的是（　　）

A．|

OP1

|有最小值1
B．|

OP1

|有最小值，且最小值小于1
C．

OP1

•

OP2

＞0恒成立
D．存在x₁，x₂使得

OP1

•

OP2

＝2

Answer 1

∵P₁（x₁，cosx₁），P₂（x₂，cosx₂），
∴

OP1

•

OP2

=（x₁，cosx₁）•（x₂，cosx₂）=x₁x₂+cosx₁cosx₂，
对于A、B：知|

OP1

|²=x₁²+cos²x₁（-1≤x₁≤1）
令|

OP1

|²=f（x）=x²+cos²x（-1≤x≤1）
考虑到f（x）为偶函数，
不妨仅讨论0≤x≤1时f（x）的最小值，
因f（x）=1+x²-sin²x=1+（x+sinx）（x-sinx）
而当0≤x≤1时x≥sinx≥0，则f（x）≥1（当且仅当x=0时取得等号）
即当0≤x≤1时f（x）_min=1
所以|

OP1

|有最小值1，由此可见选项A对B错；
对于C：

OP1

•

OP2

=（x₁，cosx₁）•（x₂，cosx₂）=x₁x₂+cosx₁cosx₂，
因-1≤x₁≤x₂≤1，则-1≤x₁x₂≤1
而0＜（cos1）²≤cosx₁cosx₂≤1
注意到一个极限位置：x₁=-1，x₂=1
向量

OP1

•

OP2

=-1+（cos1）²＜0
所以C选项并不恒成立．故错；
对于D：

OP1

•

OP2

=（x₁，cosx₁）•（x₂，cosx₂）=x₁x₂+cosx₁cosx₂，
其中x₁x₂≤1，cosx₁cosx₂≤1，但x₂与cosx₂不可能同时为1，
而x₁≤x₂，所以应

OP1

•

OP2

＜2；故D错．
故选A．