给出的x和y的参数方程,然后题目让求其曲线的质心,它的解答是通过微弧段积分求出弧长然后用x和y分别乘以微弧段积分,将其结果比上弧长即得质心坐标,这是什么依据?不太理解.

Question

给出的x和y的参数方程,然后题目让求其曲线的质心,它的解答是通过微弧段积分求出弧长
然后用x和y分别乘以微弧段积分,将其结果比上弧长即得质心坐标,这是什么依据?不太理解.

Answer 1

简而言之,依据的是杠杆原理,也就是力矩相等.
具体是：
1、每一小段弧长乘以质量的线密度,就是每一小段弧长的质量；
2、质量再乘以重力加速度g,就是引力；
3、引力再乘以距离x,就是该小段弧长对原点的力矩；
4、对所有的弧长的力矩的积分,就是合力矩；
5、假设质心已经找到,所有的质量集中在质心,乘以g,就是总引力,
总引力乘以质心的坐标,就是总力矩,此力矩应该等于上面的积分的结果；
6、而所有的质量等于线段的总长度乘以质量的线密度,所以,
用4的积分结果,除以总质量,就是质心的坐标；
7、由于分子分母中,都有质量线密度和重力加速度,因为它们都是常数,可以约分.
这样一来,物理含义极为明显的问题,就变得含含糊糊了,就变成了：
对微弧长乘以坐标x后,积分；再除以总弧长,就得到质心的x坐标.
物理概念变得模糊了,数学教师又不敢过于渲染物理,他们有些需要藏拙,
有些需要以此自抬身价.
y方向、z方向上的质心坐标,以此类推.
欢迎追问.