如图1，在平面直角坐标系xoy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-2，0），AE=8。（1）求点C的坐标；

Question

如图1，在平面直角坐标系xoy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为 的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-2，0），AE=8。

（1）求点C的坐标；
（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC；
（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P，动点F在⊙M的圆周上运动时， 的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律。

Answer 1

（1）连接ME，DM。
易知A，C是弧AE，弧CD的中点，
且弧AE=弧CD
∴DC=AE=8
∴OC=4
∴C坐标为（0，4）或（0，-4）。
（2）连接MC，交AE于H。
则MC⊥AE，易知MH=MO
∴MG为∠CMA的角平分线
∵∠CMA=∠ACD+∠CAE（∠CAE=∠ACD）
∴1/2∠CMA=∠ACE
∴Rt△GOM∽Rt△AOC
∵Rt△AOC∽Rt△OCB
∴Rt△GOM∽Rt△0CB    
∴∠GMO=∠CBO
∴MG‖CB。
（3）连接MF。
设圆M的半径为R，
在RT△ODM中，DM ² =OD ² +OM ²
R ² =4 ² +（R-2） ²   
∴R=5 
∴MO=MA-OA=5-2=3
易知△ODM为Rt△，
∴OD ² =OM×OP
∴OP=16/3，OM=25/3 
MF=5，OM=3
∵OM/MF=3/5， MF/PM=3/5 
∴OM/MF=MF/PM 
∴△OMF∽△FMP 
∴OF/PF=OM/MF=3/5。