设平面方程x/a+y/b+z/c=1,过点(1,2,3),求正参数a,b,c,使得此平面与三个坐标轴所围成的立体体积最小.并求最小体积.

Question

设平面方程x/a+y/b+z/c=1,过点(1,2,3),求正参数a,b,c,使得此平面与三个坐标轴所围成的立体体积最小.并求最小体积.

Answer 1

令x=0,y=0可得z=c
同理可得x=a,y=b
由已知,1/a+2/b+3/c=1
则 1>=3倍的3次根号(6/abc)
也即 abc>=162
当且仅当 1/a=2/b=3/c=1/3也即a=3,b=6,c=9时取等号
所以 ,V=xyz/6=abc/6>=27
因此,当a=3,b=6,c=9时,所求体积最小,为27.