（2010•泉州）如图所示，已知抛物线y＝14x2−x+k的图象与y轴相交于点B（0，1），点C（m，n）在该抛物线图象上，且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A．（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）若

Question

（2010•泉州）如图所示，已知抛物线y＝(1)/(4)x2−x+k的图象与y轴相交于点B（0，1），点C（m，n）在该抛物线图象上，且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A．
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴l上运动，试探索：
①当S₁＜S＜S₂时，求t的取值范围（其中：S为△PAB的面积，S₁为△OAB的面积，S₂为四边形OACB的面积）；
②当t取何值时，点P在⊙M上．（写出t的值即可）

Answer 1

（1）∵点B（0，1）在y＝(1)/(4)x2−x+k的图象上，
∴1＝(1)/(4)×02−0+k，（2分）
∴k=1．（3分）

（2）由（1）知抛物线为：
y＝(1)/(4)x2−x+1即y＝(1)/(4)(x−2)2，
∴顶点A为（2，0），（4分）
∴OA=2，OB=1；
过C（m，n）作CD⊥x轴于D，则CD=n，OD=m，
∴AD=m-2，
由已知得∠BAC=90°，（5分）
∴∠CAD+∠BAO=90°，又∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠CAD，
∴Rt△OAB∽Rt△DCA，
∴(AD)/(OB)=(CD)/(OA)，即(m−2)/(1)=(n)/(2)（或tan∠OBA=tan∠CAD，(OA)/(OB)＝(CD)/(AD)，即(2)/(1)＝(n)/(m−2)），（6分）
∴n=2（m-2）；
又∵点C（m，n）在y＝(1)/(4)(x−2)2上，
∴n＝(1)/(4)(m−2)2，
∴2(m−2)＝(1)/(4)(m−2)2，
即8（m-2）（m-10）=0，
∴m=2或m=10；当m=2时，n=0，当m=10时，n=16；（7分）
∴符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10，16）．（8分）

（3）①依题意得，点C（2，0）不符合条件，
∴点C为（10，16）
此时S1＝(1)/(2)OA×OB＝1，
S₂=S_BODC-S_△ACD=21；（9分）
又∵点P在函数y＝(1)/(4)(x−2)2图象的对称轴x=2上，
∴P（2，t），AP=|t|，
∴S＝(1)/(2)OA×AP＝AP=|t|（10分）
∵S₁＜S＜S₂，
∴当t≥0时，S=t，
∴1＜t＜21．（11分）
∴当t＜0时，S=-t，
∴-21＜t＜-1
∴t的取值范围是：1＜t＜21或-21＜t＜-1（12分）
②t=0，1，17（14分）