如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−23x+4分别交x、y轴于A、B两点，将△AOB沿直线y=kx-94k（k＞0）折叠，使B点落在y轴的C点处．（1）求C点坐标；（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△C

Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−(2)/(3)x+4分别交x、y轴于A、B两点，将△AOB沿直线y=kx-(9)/(4)k（k＞0）折叠，使B点落在y轴的C点处．

（1）求C点坐标；
（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，求直线OD的解析式；
（3）在（2）的条件下，点D在第一象限，沿x轴平移直线OD，分别交x，y轴于点E，F，在平面直角坐标系中，是否存在点M（m，3）和点P，使四边形EFMP为正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）令x=0，则y=4，
令y=0，则-(2)/(3)x+4=0，
解得x=6，
所以，A（0，4），B（6，0），
设直线y=kx-(9)/(4)k交x轴、y轴于点E、F，
则E（(9)/(4)，0），F（0，-(9)/(4)k），
设BC与直线y=kx-(9)/(4)k交于点G，
则点G的横坐标为(0+6)/(2)=3，
代入直线y=-(2)/(3)x+4得，点G的纵坐标y=(3)/(4)k，
∵∠OBC+∠OCB=∠OFE+∠OCB=90°，
∴∠OBC=∠OFE，
∵tan∠OBC=((3)/(4)k)/(6−3)=(1)/(4)k，tan∠OFE=(OE)/(OF)=((9)/(4))/((9)/(4)k)=(1)/(k)，
∴(1)/(4)k=(1)/(k)，
解得k=2，k=-2（舍去），
∴点G的坐标为（3，(3)/(2)），
∵点B、C关于 点G对称，
∴点C的坐标为（0，3）；

（2）①点D在第一象限时，
∵△CDB与△CDO面积相等，
∴CD∥OB，
∴点D的纵坐标为3，
当y=3时，-(2)/(3)×x+4=3，
解得x=(3)/(2)，
∴点D的坐标为（(3)/(2)，3），
∴直线OD的解析式为y=2x；
②点D在第二象限时，AC=4-3=1，
设点D到y轴的距离为a，
则S_△CDB=S_△ACD+S_△ABC
=(1)/(2)×1•a+(1)/(2)×1×6
=(1)/(2)a+3，
∵△CDB与△CDO面积相等，
∴(1)/(2)a+3=(1)/(2)×3a，
解得a=3，
∴点D的横坐标为-3，
当x=-3时，y=-(2)/(3)×（-3）+4=2+4=6，
∴点D的坐标为（-3，6），
∴直线OD的解析式为y=-2x；

（3）设OD平移后的解析式为y=2x+b，
令y=0，则2x+b=0，
解得x=-(b)/(2)，
令x=0，则y=b，
所以，OE=(b)/(2)，OF=b，
过点M作MN⊥y轴于N，过点P作PQ⊥x轴于Q，
∵四边形EFMP是正方形，
∴易证△MNF≌△FOE≌△EQP，
∴MN=OF=EQ，NF=OE=PQ，
∵M（m，3），
∴ON=b+(b)/(2)=3，
解得b=2，
∴OE=1，OF=2，
∴OQ=OE+QE=1+2=3，
∴点M（-2，3），点P（-3，1），
故，存在点M（-2，3）和点P（-3，1），使四边形EFMP为正方形．