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已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(1,4),它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2.(1)求抛物线的解析式;(2)在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)及直线y2=x+1的图象,
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已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(1,4),它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)及直线y2=x+1的图象,并根据图象,直接写出使得y1≥y2的x的取值范围;
(3)设抛物线与x轴的右边交点为A,过点A作x轴的垂线,交直线y2=x+1于点B,在抛物线上是否存在一点P使S△PAB=6?若存在求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)及直线y2=x+1的图象,并根据图象,直接写出使得y1≥y2的x的取值范围;
(3)设抛物线与x轴的右边交点为A,过点A作x轴的垂线,交直线y2=x+1于点B,在抛物线上是否存在一点P使S△PAB=6?若存在求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2,
∴交点的纵坐标为2+1=3,即交点坐标为(2,3).
设抛物线的解析式为y1=a(x-1)2+4,把交点坐标(2,3)代入得:
3=a(2-1)2+4,
解得a=-1,
∴抛物线解析式为:y1=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.
(2)令y1=0,即-x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=-1,
∴抛物线与x轴交点坐标为(3,0)和(-1,0).
在坐标系中画出抛物线与直线的图形,如图:
根据图象,可知使得y1≥y2的x的取值范围为-1≤x≤2.
(3)由(2)可知,点A坐标为(3,0).
令x=3,则y2=x+1=3+1=4,∴B(3,4),即AB=4.
设△PAB中,AB边上的高为h,则h=|xP-xA|=|xP-3|,
S△PAB=
AB•h=
×4×|xP-3|=2|xP-3|.
已知S△PAB=6,2|xP-3|=6,化简得:|xP-3|=3,
解得 xP=0或xP=6.
∵点P是抛物线y=-x2+2x+3上的点,
∴当xP=0时,yP=3.当xP=6时,yP=-21,
∴点P的坐标是:(0,3),(6,-21).
∴交点的纵坐标为2+1=3,即交点坐标为(2,3).
设抛物线的解析式为y1=a(x-1)2+4,把交点坐标(2,3)代入得:
3=a(2-1)2+4,
解得a=-1,
∴抛物线解析式为:y1=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.
(2)令y1=0,即-x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=-1,
∴抛物线与x轴交点坐标为(3,0)和(-1,0).
在坐标系中画出抛物线与直线的图形,如图:
根据图象,可知使得y1≥y2的x的取值范围为-1≤x≤2.
(3)由(2)可知,点A坐标为(3,0).
令x=3,则y2=x+1=3+1=4,∴B(3,4),即AB=4.
设△PAB中,AB边上的高为h,则h=|xP-xA|=|xP-3|,
S△PAB=
1 |
2 |
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已知S△PAB=6,2|xP-3|=6,化简得:|xP-3|=3,
解得 xP=0或xP=6.
∵点P是抛物线y=-x2+2x+3上的点,
∴当xP=0时,yP=3.当xP=6时,yP=-21,
∴点P的坐标是:(0,3),(6,-21).
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