已知曲线C：x2+y2−z＝12x−y−z＝1，求该曲线上距离原点最远的点和最近的点的坐标．

Question

已知曲线C：

 x2+y2−z＝1

 2x−y−z＝1

，求该曲线上距离原点最远的点和最近的点的坐标．

Answer 1

对曲线C方程

x2+y2−z＝1

2x−y−z＝1

消去变量z，得到x²+y²=2x-y即(x−1)2+(y+(1)/(2))2＝(5)/(4)
设

x＝1+(√(5))/(2)cost

y＝−(1)/(2)+(√(5))/(2)sint

，(t∈[0，2π))
曲线上任一点（x，y，z）到坐标原点的距离
d＝√(x2+y2+z2)=√(z+1+z2)=√((z+(1)/(2))2+(3)/(4))
z+(1)/(2)＝2x−y−(1)/(2)=2+√(5)cost+(1)/(2)−(√(5))/(2)sint−(1)/(2)=2+√(5)cost−(√(5))/(2)sint=2+(5)/(2)cos(t+θ)，(tanθ＝(1)/(2))
所以，−(1)/(2)≤z+(1)/(2)≤(9)/(2)
所以，当z+(1)/(2)＝−(1)/(2)时，d取得最小值；z+(1)/(2)＝(9)/(2)时，d取得最大值．
所以，
z+(1)/(2)＝−(1)/(2)时，cos（t+θ）=-1，sint＝(1)/(√(5))，cost＝−(2)/(√(5))，所以，

x＝0

y＝0

z＝−1

是曲线上距离原点最近的点；
z+(1)/(2)＝(9)/(2)时，cos(t+θ)＝1，sint＝−(1)/(√(5))，cost＝(2)/(√(5))，所以，

x＝2

y＝−1

z＝4

是曲线上距离原点最远的点．