正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系D-xyz，且MN是AB1与BC1的公垂线，M在AB1上，N在BC1上，则MN等于（）A．(1，23，23)B．(23，1，13)C．(−13

Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，以D为原点，

DA

，

DC

，

DD1

所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系D-xyz，且MN是AB₁与BC₁的公垂线，M在AB₁上，N在BC₁上，则

MN

等于（　　）

A．(1，(2)/(3)，(2)/(3))
B．((2)/(3)，1，(1)/(3))
C．(−(1)/(3)，(1)/(3)，−(1)/(3))
D．((1)/(3)，−(1)/(3)，(1)/(3))

Answer 1

如图所示．A（1，0，0），B（1，1，0），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1）．
∴

AB1

=（0，1，1），

BC1

=（-1，0，1）．
∵点M在AB₁上，N在BC₁上．
∴可设

AM

=λ

AB1

，

BN

＝μ

BC1

．
∴

OM

＝

OA

+λ(0，1，1)=（1，λ，λ）．

ON

＝

OB

+μ(−1，0，1)=（1-μ，1，μ）．
∴

MN

=（-μ，1-λ，μ-λ）．
∵

MN

⊥

AB1

，

MN

⊥

BC1

．
∴

1−λ+μ−λ＝0

μ+μ−λ＝0

，解得λ＝(2)/(3)，μ＝(1)/(3)．
∴

MN

＝(−(1)/(3)，(1)/(3)，−(1)/(3))．
故选C．