多元函数表示的曲面切线问题曲面方程为x=u*e^vy=v*e^uz=u+v求曲面在u=v=0处的切平面答案是z=x+y

Question

多元函数表示的曲面切线问题
曲面方程为x=u*e^v y=v*e^u z=u+v
求曲面在u=v=0处的切平面
答案是z=x+y

Answer 1

对三个方程左右两边进行微分,得
dx=e^vdu+u*e^vdv ①
dy=v*e^udu+e^udv ②
dz=du+dv ③
又知u=v=0,则此时x=y=z=0
①②化为
dx=du,dy=dv
带入③,得
dz=dx+dy
所以曲面在x=y=z=0,即（0,0,0）点的法向量为{-1,-1,1}
所以切平面方程为-(x-0)-(y-0)+(z-0)=0
即z=x+y