计算曲面积分∫∫（x3+az2）dydz+（y3+ax2）dzdx+（z3+ay2）dxdy，其中∑为上半球面z=a2−x2−y2的上侧．

Question

计算曲面积分

∫∫

（x³+az²）dydz+（y³+ax²）dzdx+（z³+ay²）dxdy，其中∑为上半球面z=√(a2−x2−y2)的上侧．

Answer 1

添加平面∑₁：

z＝0

x2+y2≤a2

，方向与z轴负向一致，则∑+∑₁构成封闭曲面，
这封闭曲面所围区域为Ω，
Ω={（x，y，z）|0≤z≤a，x²+y²≤a²-z²}={（θ，φ，r）|0≤θ≤2π，0≤φ≤(π)/(2)，0≤r≤a}．
所以：
I=

∬

（x³+az²）dydz+（y³+ax²）dzdx+（z³+ay²）dxdy
=

∬

∑+∑1

（x³+az²）dydz+（y³+ax²）dzdx+（z³+ay²）dxdy-

∬

∑1

（x³+az²）dydz+（y³+ax²）dzdx+（z³+ay²）dxdy
=I₁-I₂．
对于I₁，利用高斯公式求得：
I₁=

∬

∑+∑1

（x³+az²）dydz+（y³+ax²）dzdx+（z³+ay²）dxdy
=

∭

Ω

（3x²+3y²+3z²）dxdydz
=3

∫

2π 0

dθ

∫

(π)/(2) 0

dφ

∫

a 0

r2•r2sinφdr
=(6)/(5)πa5．
对于I₂，利用投影法得，
I₂=

∬

∑1

（x³+az²）dydz+（y³+ax²）dzdx+（z³+ay²）dxdy
=-

∬

x2+y2≤a2

ay2dxdy
=-

∫

2π 0

作业搜用户 2016-11-25