曲面的面积元素怎么得来的?

Question

曲面的面积元素怎么得来的?

Answer 1

设曲面为z=f(x,y),曲面面积元为ds,在xoy面投影面为dσ,
(x0,y0,z0)在曲面面积元内,该点切面法向量应该为：（z'x,z'y,-1)
切平面与xoy面夹角为α,则cosα=1/√[1+(z'x)^2+(z'y)^2]
∵dscosα=dσ
∴ds=dσ/cosα=√[1+(z'x)^2+(z'y)^2]dσ