如图1所示，让一可视为质点的小球从光滑曲面轨道上的A点无初速滑下，运动到轨道最低点B后，进入半径为R的光滑竖直圆轨道，并恰好通过轨道最高点C，离开圆轨道后继续在光滑平直轨道

Question

如图1所示，让一可视为质点的小球从光滑曲面轨道上的A点无初速滑下，运动到轨道最低点B后，进入半径为R的光滑竖直圆轨道，并恰好通过轨道最高点C，离开圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到D点后抛出，最终撞击到搁在轨道末端点和水平地面之间的木板上，已知轨道末端点距离水平地面的高度为H=0.8m，木板与水平面间的夹角为θ=37°，小球质量为m=0.1kg，A点距离轨道末端竖直高度为h=0.2m，不计空气阻力．（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（1）求圆轨道半径R的大小；
（2）求小球从轨道末端点冲出后，第一次撞击木板时的位置距离木板上端的竖直高度有多大；
（3）若改变木板的长度，并使木板两端始终与平台和水平面相接，试通过计算推导小球第一次撞击木板时的动能随木板倾角θ变化的关系式，并在图中作出E_k-（tanθ）²图象2．

Answer 1

（1）小球恰好通过C点，由牛顿第二定律得
mg＝m(v2C)/(R)
在AC过程中，由动能定理得mg（h-2R）=(1)/(2)

mv

2 C

−0
联立解得R=(2)/(3)h＝(2)/(3)×0.2m＝0.08m；
（2）在AD过程中，由动能定理得mgh=(1)/(2)

mv

2 D

从D点做平抛运动，设平抛运动经历时间为t
x=v_Dt
y=(1)/(2)gt2
联立解得y=tanθ＝(y)/(x)4htan2θ＝4×0.2×((3)/(4))2＝0.45m
（3）小球从离开D点到第一次撞击斜面的过程中，根据动能定理mgy=Ek−(1)/(2)

mv

2 D

解得Ek＝mgy+(1)/(2)

mv

2 D

由（2）可求得mgh（4tan²θ+1）=0.8tan²θ+0.2
显然，当小球落地时动能最大为1J，
所以其图象如下

答：（1）求圆轨道半径R的大小为0.08m；
（2）求小球从轨道末端点冲出后，第一次撞击木板时的位置距离木板上端的竖直高度为0.45m；
（3）小球第一次撞击木板时的动能随木板倾角θ变化的关系式Ek＝mgy+(1)/(2)

mv

2 D