求直线l：x−11＝y1＝z−1−1在平面π：x-y+2z-1=0上的投影直线l0的方程，并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程．

Question

求直线l：(x−1)/(1)＝(y)/(1)＝(z−1)/(−1)在平面π：x-y+2z-1=0上的投影直线l₀的方程，并求l₀绕y轴旋转一周所成曲面的方程．

Answer 1

直线l的方程为：
(x−1)/(1)=(y)/(1)=(z−1)/(−1)；
可以写为：

x−y−1＝0

y+z−1＝0

因此，过直线l的平面束方程为：
x-y-1+λ（y+z-1）=0
即：
x+（λ-1）y+λz-λ-1=0；
设平面π₁与平面π垂直，则有：
1×1+（-1）（λ-1）+2λ=0
即：2+λ=0；
因此：λ=-2；
即平面π₁的方程为：
x-3y-2z+1=0；
因此直线l₀的方程为：

x−3y−2z +1＝0

x−y+2z−1＝0

显然可以得到直线l₀的参数方程为：

x＝2y

z＝−(1)/(2)(y−1)

设旋转曲面上任意一点p（x，y，z），它是有直线上的点p₀（2y，y，−(1)/(2)(y−1)）旋转得到的，
因此，p到y轴的距离应该等于p₀到y轴的距离．
因此有：
x²+z²=（2y）²+[−(1)/(2)(y−1)]2
整理得：
4x²-17y²+4z²-2y-1=0；
因此：直线l₀的方程为：