书上介绍的是当曲面为z=z(x,y)时的曲面积分，我做到一题是曲面为x^2+y^2=r^2；答案中他将这个圆柱面分为了前后两个半圆柱面来分别求曲面积分。所以想问问第一类曲面积分对曲面的要求是什

Question

书上介绍的是当曲面为z=z(x,y)时的曲面积分，我做到一题是曲面为x^2+y^2=r^2；答案中他将这个圆柱面分为了前后两个半圆柱面来分别求曲面积分。所以想问问第一类曲面积分对曲面的要求是什么？

Answer 1

对第一类曲面积分没有什么特殊的要求，只要能算就行了。
只不过x^2+y^2=r^2是一个特殊的曲面，他在xoy面上的投影面积是0
这也就意味着曲面积分中dxdy那一项为0，dydz和dzdx那两项却不为0。
他在yoz和zox两个面上的投影都是两个矩形，
可以用这两个投影，套用公式来做。
不过，这种情况下，是不能用极坐标来做最后运算的。