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(2014•镇江)如图,⊙O的直径AC与弦BD相交于点F,点E是DB延长线上的一点,∠EAB=∠ADB.(1)求证:EA是⊙O的切线;(2)已知点B是EF的中点,求证:以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似;(
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(1)求证:EA是⊙O的切线;
(2)已知点B是EF的中点,求证:以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似;
(3)已知AF=4,CF=2.在(2)条件下,求AE的长.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)如图1,连接CD,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/08/1533731053-8574.jpg)
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠ADB+∠EDC=90°,
∵∠BAC=∠EDC,∠EAB=∠ADB,
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°,
∴EA是⊙O的切线,
(2)如图2,连接BC,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/08/1533731053-4035.jpg)
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠CBA=∠ABC=90°
∵B是EF的中点,
∴在RT△EAF中,AB=BF,
∴∠BAC=∠AFE,
∴△EAF∽△CBA,
(3)∵△EAF∽△CBA,
∴
=
,
∵AF=4,CF=2.
∴AC=6,EF=2AB,
∴
=
,解得AB=2
.
∴EF=4
,
∴AE=
=
=4
,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/08/1533731053-8574.jpg)
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠ADB+∠EDC=90°,
∵∠BAC=∠EDC,∠EAB=∠ADB,
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°,
∴EA是⊙O的切线,
(2)如图2,连接BC,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/08/1533731053-4035.jpg)
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠CBA=∠ABC=90°
∵B是EF的中点,
∴在RT△EAF中,AB=BF,
∴∠BAC=∠AFE,
∴△EAF∽△CBA,
(3)∵△EAF∽△CBA,
∴
AB |
AF |
AC |
EF |
∵AF=4,CF=2.
∴AC=6,EF=2AB,
∴
AB |
4 |
6 |
2AB |
3 |
∴EF=4
3 |
∴AE=
EF2−AF2 |
(4
|
2 |
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