如图，在△ABD中，∠ABC=45゜，AC、BF为高，AC、BF相交于E点．（1）求证：BE=AD；（2）过C点作CM∥AB交AD于M点，连EM，求证：BE=AM+EM．

Question

如图，在△ABD中，∠ABC=45゜，AC、BF为高，AC、BF相交于E点．

（1）求证：BE=AD； 
（2）过C点作CM∥AB交AD于M点，连EM，求证：BE=AM+EM．

Answer 1

证明：（1）∵AC、BF是高，
∴∠BCE=∠ACD=∠AFE=90°，
∵∠AEF=∠BEC，∠CAD+∠D+∠ACD=180°，∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，
∴∠DAC=∠EBC，
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=45°=∠ABC，
∴BC=AC，
在△BCE和△ACD中

∠BCE＝∠ACD

BC＝AC

∠EBC＝∠DAC

∴△BCE≌△ACD（ASA），
∴BE=AD．
（2）∵CM∥AB，
∴∠MCE=∠BAC=45°，
∵∠ACD=90°，
∴∠MCD=45°=∠MCE，
∵△BCE≌△ACD，
∴CE=CD，
在△CEM和△CDM中

CE＝CD

∠ECM＝∠DCM

CM＝CM

∴△CEM≌△CDM（SAS），
∴ME=MD，
∴BE=AD=AM+DM=AM+ME，
即BE=AM+EM．