已知如图，AC=BC，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC于D，过B作BE垂直AD于E，求证：BE=12AD．

Question

已知如图，AC=BC，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC于D，过B作BE垂直AD于E，求证：BE=(1)/(2)AD．

Answer 1

如图，延长AC、BE交于点M，
∵∠A的平分线AD，BE垂直AD于E，
∴∠MAE=∠BAE，∠AEM=∠AEB=90°，
∵AE=AE，
∴△AEM≌△AEB（ASA），
∴EM=BE，即BM=2BE①；
∵∠A的平分线AD，AC=BC，∠C=90°，
∴∠CAD=∠DAB=22.5°，∠ABC=45°，
∵BE垂直AD于E，
∴∠DAB+∠ABC+∠DBE=90°，即∠DBE=22.5°，
∴∠CAD=∠DBE，
又∵AC=BC，且∠ACB=∠BCM=90°，
∴△ACD≌△BCM（ASA），
∴AD=BM②；
由①②得AD=2BE，
即BE=(1)/(2)AD．