求曲线方程一曲线通过点(1,1).且该曲线上任一点M(x,y)处的切线垂直于此点与原点的连线曲线方,求这曲线的方程请大家帮我解答一下谢谢拜托了请大家快来帮帮忙急用

Question

求曲线方程
一曲线通过点(1,1).且该曲线上任一点M(x,y)处的切线垂直于此点与原点的连线曲线方,求这曲线的方程
请大家帮我解答一下
谢谢
拜托了
请大家快来帮帮忙
急用

Answer 1

设这曲线的方程为 y=f（x）,
∵该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率是 y′=f′（x）,
此点与原点的连线的斜率是y/x.又它们互相垂直.
∴ y′y/x=-1.解此微分方程得 y²+x²=C,（C是积分常数）.(1)
∵此曲线通过点(1,1).
∴当x=1时,y=1.代入（1）得 C=2,则y²+x²=2.
故这曲线的方程是 y²+x²=2.