在菱形ABCD中，∠BAD=60°．（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB=4，求线段EC的长；（2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN

Question

在菱形ABCD中，∠BAD=60°．
（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB=4，求线段EC的长；
（2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中点，连接DQ，MQ，求证：DM=2DQ．

Answer 1

（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠ABD=(1)/(2)∠ABC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=4，
∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
由勾股定理得：DE=√(42-22)=2√(3)，
∵DC∥AB，
∴∠EDC=∠DEA=90°，
在Rt△DEC中，DC=4，
EC=√(DC2+DE2)=√(42+(2√(3))2)=2√(7)；
（2）如图2，延长CD至H，使CD=DH，连接NH、AH，
∵AD=CD，
∴AD=DH，
∵CD∥AB，
∴∠HDA=∠BAD=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴AH=AD，∠HAD=60°，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM=AN，∠NAM=60°，
∴∠HAN+∠NAG=∠NAG+∠DAM，
∴∠HAN=∠DAM，
在△ANH和△AMD中，
∵

AH=AD

∠HAN=∠DAM

AN=AM

，
∴△ANH≌△AMD（SAS），
∴HN=DM，
∵D是CH的中点，Q是NC的中点，
∴DQ是△CHN的中位线，
∴HN=2DQ，
∴DM=2DQ．