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已知如图所示,在平行四边形ABCD中,∠A=60°,E、F分别是AB、CD的中点,且AB=2AD.(1)求证:BD=3EF;(2)试判断EF与BD的位置关系.
题目详情
已知如图所示,在平行四边形ABCD中,∠A=60°,E、F分别是AB、CD的中点,且AB=2AD.
(1)求证:BD=
EF;
(2)试判断EF与BD的位置关系.
(1)求证:BD=
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(2)试判断EF与BD的位置关系.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图,连接DE.
∵AB=2AD,E是AB的中点,
∴AD=AE,
又∠A=60°,
∴△ADE是等边三角形,
∴DE=AE=BE,
∴△ABD是直角三角形,
∴∠ADB=90°,又∠A=60°,
∴∠ABD=90°-60°=30°,
∴AB=2AD,
∴BD=
AD,
∵DF∥AE,DF=AE,
∴四边形AEFD是平行四边形,
∴BD=
EF;
(2)EF与BD互相垂直平分.理由如下:
连结BF,如图,
∵平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,
∴DF∥BE,DF=BE,
∴四边形BEDF为平行四边形,
根据(1)中的结论,
∵四边形AEFD是平行四边形,△ABD是直角三角形,
∴AD⊥DB,而E点为AB的中点,
∴DE=BE,
∴四边形BEDF为菱形,
∴EF与BD互相垂直平分.
∵AB=2AD,E是AB的中点,
∴AD=AE,
又∠A=60°,
∴△ADE是等边三角形,
∴DE=AE=BE,
∴△ABD是直角三角形,
∴∠ADB=90°,又∠A=60°,
∴∠ABD=90°-60°=30°,
∴AB=2AD,
∴BD=
3 |
∵DF∥AE,DF=AE,
∴四边形AEFD是平行四边形,
∴BD=
3 |
(2)EF与BD互相垂直平分.理由如下:
连结BF,如图,
∵平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,
∴DF∥BE,DF=BE,
∴四边形BEDF为平行四边形,
根据(1)中的结论,
∵四边形AEFD是平行四边形,△ABD是直角三角形,
∴AD⊥DB,而E点为AB的中点,
∴DE=BE,
∴四边形BEDF为菱形,
∴EF与BD互相垂直平分.
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