在五边形ADBCE中，∠ADB=∠AEC=90°，∠DAB=∠EAC，M、N、O分别为AC、AB、BC的中点．（1）求证：△EMO≌△OND；（2）若AB=AC，且∠BAC=40°，当∠DAB等于多少时，四边形ADOE是菱形，并证明．

Question

在五边形ADBCE中，∠ADB=∠AEC=90°，∠DAB=∠EAC，M、N、O分别为AC、AB、BC的中点．

（1）求证：△EMO≌△OND；
（2）若AB=AC，且∠BAC=40°，当∠DAB等于多少时，四边形ADOE是菱形，并证明．

Answer 1

证明：（1）∵∠ADB=90°，N是AB的中点，
∴DN=(1)/(2)AB=AN，
∴∠ADN=∠BAD，
∵O是AB的中点，M是AC的中点，
∴OM是△ABC的中位线，
∴OM=(1)/(2)AB，OM∥AB，
∴∠OMC=∠BAC，
同理得：∠BNO=∠BAC，
∴∠BNO=∠OMC，
∵DN=(1)/(2)AB，OM=(1)/(2)AB，
∴DN=OM，
同理得：ME=ON，
∵∠BND=∠ADN+∠BAD，
∠CME=∠CAE+∠AEM，
∴∠BND=2∠BAD，∠CME=2∠CAE，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BND=∠CME，
∴∠BND+∠BNO=∠CME+∠OMC，
即∠DNO=∠EMO，
∴△EMO≌△OND；
（2）当∠DAB等于35°时，四边形ADOE是菱形，理由是：
如图2，连接AO，
设∠DAB=x°，则∠BND=2x°，
∵AB=AC，O是BC的中点，
∴AO平分∠BAC，AO⊥BC，
∵∠BAC=40°，
∴∠BAO=20°，
在Rt△ABO中，N是AB的中点，
∴ON=(1)/(2)AB=AN，
∴∠BAO=∠AON=20°，
∴∠BNO=40°，
由（1）得：ON=(1)/(2)AC，DN=(1)/(2)AB，
∴ON=DN，
∴∠NDO=∠NOD=(180-∠DNO)/(2)=90°-(1)/(2)（2x°+40°）=70°-x°，
∵∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠CAE，AB=AC，
∴△ADB≌△AEC，
∴AD=AE，
由（1）得：△EMO≌△OND，
∴OD=OE，
∴当AD=OD时，四边形ADOE是菱形，
即∠DAO=∠AOD，
x+20=70-x+20，
x=35，
∴当∠DAB等于35°时，四边形ADOE是菱形．