如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，AB=4，AA1=5，点M是BB1中点（Ⅰ）求证：平面A1MC⊥平面AA1C1C（Ⅱ）求点A到平面A1MC的距离．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等边三角形，AB=4，AA₁=5，点M是BB₁中点

（Ⅰ）求证：平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C
（Ⅱ）求点A到平面A₁MC的距离．

Answer 1

（Ⅰ）证明：记AC₁与A₁C的交点为E．连结ME．
如图
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，点M是BB₁中点，
∴MA₁=MA=MC₁=MC=(√(89))/(2)．
因为点E是AC₁，A₁C的中点，
所以ME⊥AC₁且ME⊥A₁C，…（4分）
从而ME⊥平面AA₁C₁C．
因为ME⊂平面A₁MC，所以平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C．…（6分）
（Ⅱ） 过点A作AH⊥A₁C于点H，
如图，

由（Ⅰ）知平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C，平面A₁MC∩平面AA₁C₁C=A₁C，
而AH⊥平面AA₁C₁C
∴AH即为点A到平面A₁MC的距离．…（9分）
在△A₁AC中，∠A₁AC=90°，
A₁A=5，AC=4∴A1C=√(41)
∴AH=(5×4)/(√(41))=(20√(41))/(41)
即点A到平面A₁MC的距离为(20√(41))/(41)． …（12分）