如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．（1）求证：AC2=CD•BC；（2）过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB．①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH

Question

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．

（1）求证：AC²=CD•BC；
（2）过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB．
①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH；
②若∠B=30°，求证：四边形AKEC是菱形．

Answer 1

证明：（1）∵AC平分∠BCD，
∴∠DCA=∠ACB．
又∵AC⊥AB，AD⊥AE，
∴∠DAC+∠CAE=90°，∠CAE+∠EAB=90°，
∴∠DAC=∠EAB．
又∵E是BC的中点，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠ABC，
∴∠DAC=∠ABC，
∴△ACD∽△BCA，
∴(AC)/(BC)=(CD)/(AC)，
∴AC²=CD•BC；

（2）①证明：连接AH．
∵∠ADC=∠BAC=90°，点H、D关于AC对称，
∴AH⊥BC．
∵EG⊥AB，AE=BE，
∴点G是AB的中点，
∴HG=AG，
∴∠GAH=GHA．
∵点F为AC的中点，
∴AF=FH，
∴∠HAF=∠FHA，
∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°，
∴FH⊥GH；
②∵EK⊥AB，AC⊥AB，
∴EK∥AC，
又∵∠B=30°，
∴AC=(1)/(2)BC=EB=EC．
又EK=EB，
∴EK=AC，
即AK=KE=EC=CA，
∴四边形AKEC是菱形．