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四边形ABCD是正方形,点E在边BC上(不与端点B、C重合),点F在对角线AC上,且EF⊥AC,连接AE,点G是AE的中点,连接DF、FG(1)若AB=72,BE=2,求FG的长;(2)求证:DF=2FG;(3)将图1中的△CEF绕
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四边形ABCD是正方形,点E在边BC上(不与端点B、C重合),点F在对角线AC上,且EF⊥AC,连接AE,点G是AE的中点,连接DF、FG
(1)若AB=7
,BE=
,求FG的长;
(2)求证:DF=
FG;
(3)将图1中的△CEF绕点C按顺时针旋转,使边CF的顶点F恰好在正方形ABCD的边BC上(如图2),连接AE、点G仍是AE的中点,猜想BF与FG之间的数量关系,并证明你的猜想.
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(1)若AB=7
2 |
2 |
(2)求证:DF=
2 |
(3)将图1中的△CEF绕点C按顺时针旋转,使边CF的顶点F恰好在正方形ABCD的边BC上(如图2),连接AE、点G仍是AE的中点,猜想BF与FG之间的数量关系,并证明你的猜想.
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▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABC=90°,
根据勾股定理得,AE=
=10,
∵EF⊥AC,
∴∠AFE=90°,
∵点G是AE中点,
∴FG=
AE=5;
(2)连接BF,BG,如图1,
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∵AC是正方形ABCD的对角线,
∴AB=AD,∠DAC=∠BAC,
∵AF=AF,
∴△AFD≌△AFB,
∴DF=BF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,
∵EF⊥AC,
∴∠AEF=90°,
∴∠ABC=∠AEF=90°,
∴点A,F,E,B四点共圆,
∵点G是AE中点,
∴点G为点A,F,E,B四点共圆的圆心,
∵∠BAC=45°,
∴∠BGF=2∠BAC=90°,
在Rt△ABE中,BG=
AE,
在Rt△AFE中,FG=
AE,
∴BG=FG,
∴∠BGF=90°,
∴△BGF为等腰直角三角形,
∴BF=
FG,
∵DF=BF,
∴DF=
FG,
(3)BF=
FG;连接BG,CG
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∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABC=90°,∠ACB=45°,AB=BC,
由旋转有,∠CFE=90°,∠ECF=45°,
∴∠ACE=90°,
∵点G是AE的中点,
∴EG=CG=AG,
∴△AGB≌△CGB,
∴∠ABG=∠CBG=
∠ABC=45°,
∵EG=CG,EF=CF,FG=FG,
∴△EFG≌△CFG,
∴∠EFG=∠CFG=360°-∠BFE=360°-90°=270°,
∴∠EFG=135°,
∵∠BFE=90°,
∴∠BFG=45°,
∴△BGF为等腰直角三角形,
∴BF=
FG.
∴∠ABC=90°,
根据勾股定理得,AE=
AB2+BE2 |
∵EF⊥AC,
∴∠AFE=90°,
∵点G是AE中点,
∴FG=
1 |
2 |
(2)连接BF,BG,如图1,
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∵AC是正方形ABCD的对角线,
∴AB=AD,∠DAC=∠BAC,
∵AF=AF,
∴△AFD≌△AFB,
∴DF=BF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,
∵EF⊥AC,
∴∠AEF=90°,
∴∠ABC=∠AEF=90°,
∴点A,F,E,B四点共圆,
∵点G是AE中点,
∴点G为点A,F,E,B四点共圆的圆心,
∵∠BAC=45°,
∴∠BGF=2∠BAC=90°,
在Rt△ABE中,BG=
1 |
2 |
在Rt△AFE中,FG=
1 |
2 |
∴BG=FG,
∴∠BGF=90°,
∴△BGF为等腰直角三角形,
∴BF=
2 |
∵DF=BF,
∴DF=
2 |
(3)BF=
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∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABC=90°,∠ACB=45°,AB=BC,
由旋转有,∠CFE=90°,∠ECF=45°,
∴∠ACE=90°,
∵点G是AE的中点,
∴EG=CG=AG,
∴△AGB≌△CGB,
∴∠ABG=∠CBG=
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2 |
∵EG=CG,EF=CF,FG=FG,
∴△EFG≌△CFG,
∴∠EFG=∠CFG=360°-∠BFE=360°-90°=270°,
∴∠EFG=135°,
∵∠BFE=90°,
∴∠BFG=45°,
∴△BGF为等腰直角三角形,
∴BF=
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