（2013•孝南区一模）如图，点D为线段AB的中点，点C为线段AB的垂直平分线上任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：△CED≌△CFD；（2）若AB=2a，问当CD为多少时，四边形CEDF为正方形

Question

（2013•孝南区一模）如图，点D为线段AB的中点，点C为线段AB的垂直平分线上任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：△CED≌△CFD；
（2）若AB=2a，问当CD为多少时，四边形CEDF为正方形？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵CD垂直平分线AB，
∴AC=CB．
∵点C为线段AB的垂直平分线上任意一点
∴AC=CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴∠EDC=∠FDC，
在△DEC与△DFC中，

∠ACD＝∠BCD

CD＝CD

∠EDC＝∠FDC

，
∴△DEC≌△DFC（ASA）；

（2）当CD=(1)/(2)AB=a时，四边形CEDF为正方形．
理由如下：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵CD=(1)/(2)AB，
∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∵CE=CF，
∴四边形ECFD是正方形．