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如图,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形,且P为AD的中点,Q为SB的中点.(Ⅰ)求证:CD⊥平面SAD;(Ⅱ)求证:PQ∥平面SCD;(Ⅲ)若SA=SD,M为BC中点,在棱SC上是否
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(Ⅰ)求证:CD⊥平面SAD;
(Ⅱ)求证:PQ∥平面SCD;
(Ⅲ)若SA=SD,M为BC中点,在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
证明:(Ⅰ)因为四边形ABCD为正方形,则CD⊥AD.…(1分)
又平面SAD⊥平面ABCD,
且面SAD∩面ABCD=AD,
所以CD⊥平面SAD.…(3分)
(Ⅱ)取SC的中点R,连QR,DR.
由题意知:PD∥BC且PD=
BC.…(4分)
在△SBC中,Q为SB的中点,R为SC的中点,
所以QR∥BC且QR=
BC.
所以QR∥PD且QR=PD,
则四边形PDRQ为平行四边形.…(7分)
所以PQ∥DR.又PQ⊄平面SCD,DR⊂平面SCD,
所以PQ∥平面SCD. …(10分)
(Ⅲ)存在点N为SC中点,使得平面DMN⊥平面ABCD. …(11分)
连接PC、DM交于点O,连接PM、SP,
因为PD∥CM,并且PD=CM,
所以四边形PMCD为平行四边形,所以PO=CO.
又因为N为SC中点,
所以NO∥SP.…(12分)
因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,并且SP⊥AD,
所以SP⊥平面ABCD,
所以NO⊥平面ABCD,…(13分)
又因为NO⊂平面DMN,
所以平面DMN⊥平面ABCD.…(14分)
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又平面SAD⊥平面ABCD,
且面SAD∩面ABCD=AD,
所以CD⊥平面SAD.…(3分)
(Ⅱ)取SC的中点R,连QR,DR.
由题意知:PD∥BC且PD=
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2 |
在△SBC中,Q为SB的中点,R为SC的中点,
所以QR∥BC且QR=
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所以QR∥PD且QR=PD,
则四边形PDRQ为平行四边形.…(7分)
所以PQ∥DR.又PQ⊄平面SCD,DR⊂平面SCD,
所以PQ∥平面SCD. …(10分)
(Ⅲ)存在点N为SC中点,使得平面DMN⊥平面ABCD. …(11分)
连接PC、DM交于点O,连接PM、SP,
因为PD∥CM,并且PD=CM,
所以四边形PMCD为平行四边形,所以PO=CO.
又因为N为SC中点,
所以NO∥SP.…(12分)
因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,并且SP⊥AD,
所以SP⊥平面ABCD,
所以NO⊥平面ABCD,…(13分)
又因为NO⊂平面DMN,
所以平面DMN⊥平面ABCD.…(14分)
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