已知：如图，BC为⊙O的弦，OA⊥BC于E，交⊙O于A，AD⊥AC于A，∠D=2∠B=60°．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）当BC=6时，求阴影部分的面积．

Question

已知：如图，BC为⊙O的弦，OA⊥BC于E，交⊙O于A，AD⊥AC于A，∠D=2∠B=60°．

（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）当BC=6时，求阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：连OC，
∵BC为⊙O的弦，OA⊥BC于E，
∴BE=CE．
∴AC=AB．
∴∠CBA=∠BCA，而AD⊥AC，∠D=2∠B=60°．
∴∠BCA=30°，∠ACD=30°．
∴∠EAC=60°．
∴∠OCA=60°．
∴∠OCD=90°．
∴CD为⊙O的切线．
（2）∵AB=AC，
∴弓形AB和弓形AC的面积相等．
∴阴影部分的面积=直角三角形ADC的面积．
又∵BC=6，
∴CE=3．
在直角三角形CEA中，∠ACE=30°，
∴AC=2√(3)．
在直角三角形CDA中，∠ACD=30°，
∴AD=2．
所以三角形ADC的面积等于2√(3)，即阴影部分的面积为2√(3)．