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(2015遵义)在RT△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F。(1)求证:△AEF≌△DEB(2)证明四边形ADCF是菱形。(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积。
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(2015遵义)在RT△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F。
(1)求证:△AEF≌△DEB
(2)证明四边形ADCF是菱形。
(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积。
(1)求证:△AEF≌△DEB
(2)证明四边形ADCF是菱形。
(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积。
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:因为AF平行BC
所以角AFE=角CBE
角EAF=角BDE
因为E是AD的中点
所以AE=DE
所以三角形AEF和三角形DEB全等(AAS)
(2)证明:因为三角形ABC是直角三角形
D是BC的中点
所以AD是直角三角形ABC的中线
所以AD=BD=CD=1/2BC
因为三角形AEF和三角形DEB全等(AAS)
所以AF=BD
所以AF=CD
因为AF平行BC
所以四边形ADCF是平行四边形
所以四边形ADCF是菱形
(3)因为四边形ADCF是菱形
所以S菱形ADCF=2S三角形ACD
因为D是AB的中点
所以BD=CD=1/2BC
所以S三角形ABC=2S三角形ACD
所以S菱形ADCF=S三角形ABC
因为三角形ABC是直角三角形
所以S三角形ABC=1/2AC*AB
因为AC=4 AB=5
所以S三角形ABC=10
所以S菱形ADCF=10
所以菱形ADCF=10
所以角AFE=角CBE
角EAF=角BDE
因为E是AD的中点
所以AE=DE
所以三角形AEF和三角形DEB全等(AAS)
(2)证明:因为三角形ABC是直角三角形
D是BC的中点
所以AD是直角三角形ABC的中线
所以AD=BD=CD=1/2BC
因为三角形AEF和三角形DEB全等(AAS)
所以AF=BD
所以AF=CD
因为AF平行BC
所以四边形ADCF是平行四边形
所以四边形ADCF是菱形
(3)因为四边形ADCF是菱形
所以S菱形ADCF=2S三角形ACD
因为D是AB的中点
所以BD=CD=1/2BC
所以S三角形ABC=2S三角形ACD
所以S菱形ADCF=S三角形ABC
因为三角形ABC是直角三角形
所以S三角形ABC=1/2AC*AB
因为AC=4 AB=5
所以S三角形ABC=10
所以S菱形ADCF=10
所以菱形ADCF=10
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