如图，已知放在同一平面上的两个正三棱锥P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心）的侧棱长都相等．若AB=6，二面角P-BD-S的余弦值为13．（Ⅰ）求证：PB⊥

Question

如图，已知放在同一平面上的两个正三棱锥P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心）的侧棱长都相等．若AB=6，二面角P-BD-S的余弦值为(1)/(3)．
（Ⅰ）求证：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求多面体SPABC的体积..(1)/(3)．
（Ⅰ）求证：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求多面体SPABC的体积..(1)/(3)1133

Answer 1

（Ⅰ）分别作出两个正三棱锥的高PN、SM，连接AC交BD于O，连接OP、OS
∵△ADB与△BCD都是正三角形
∴四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°，可得AC、DB互相垂直平分
∵△PBD中，PB=PD，O为BD中点
∴PO⊥BD，
同理，SO⊥BD，可得∠POS为二面角P-BD-S的平面角
∵ON=(1)/(3)OA，OM=(1)/(3)OC∴MN=(1)/(3)AC
∵四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°，
∴AC=√(3)AB=6√(3)⇒MN=(1)/(3)AC=2√(3)
∵正三棱锥P-ABD、S-BCD是两个全等的三棱锥
∴两条高PN、SM平行且相等
可得四边形PSMN是矩形，所以PS=MN=2√(3)
∵两个正三棱锥的侧棱长都相等
∴等腰三角形OPS中，根据余弦定理得：cos∠POS=(OP2+OS2-PS2)/(2•OP•OS)=(1)/(3)
可得OP=OS=3
∵Rt△POB中，OB=(1)/(2)AB=3
∴PB=√(OB2+OP2)=3√(2)
在△PDB中，PB²+PD²=36=BD²
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB=3√(2)，AN=

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(1)/(3)111333OA，OM=(1)/(3)OC∴MN=(1)/(3)AC
∵四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°，
∴AC=√(3)AB=6√(3)⇒MN=(1)/(3)AC=2√(3)
∵正三棱锥P-ABD、S-BCD是两个全等的三棱锥
∴两条高PN、SM平行且相等
可得四边形PSMN是矩形，所以PS=MN=2√(3)
∵两个正三棱锥的侧棱长都相等
∴等腰三角形OPS中，根据余弦定理得：cos∠POS=(OP2+OS2-PS2)/(2•OP•OS)=(1)/(3)
可得OP=OS=3
∵Rt△POB中，OB=(1)/(2)AB=3
∴PB=√(OB2+OP2)=3√(2)
在△PDB中，PB²+PD²=36=BD²
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB=3√(2)，AN=

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(1)/(3)111333OC∴MN=(1)/(3)AC
∵四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°，
∴AC=√(3)AB=6√(3)⇒MN=(1)/(3)AC=2√(3)
∵正三棱锥P-ABD、S-BCD是两个全等的三棱锥
∴两条高PN、SM平行且相等
可得四边形PSMN是矩形，所以PS=MN=2√(3)
∵两个正三棱锥的侧棱长都相等
∴等腰三角形OPS中，根据余弦定理得：cos∠POS=(OP2+OS2-PS2)/(2•OP•OS)=(1)/(3)
可得OP=OS=3
∵Rt△POB中，OB=(1)/(2)AB=3
∴PB=√(OB2+OP2)=3√(2)
在△PDB中，PB²+PD²=36=BD²
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB=3√(2)，AN=

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(1)/(3)111333AC
∵四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°，
∴AC=√(3)AB=6√(3)⇒MN=(1)/(3)AC=2√(3)
∵正三棱锥P-ABD、S-BCD是两个全等的三棱锥
∴两条高PN、SM平行且相等
可得四边形PSMN是矩形，所以PS=MN=2√(3)
∵两个正三棱锥的侧棱长都相等
∴等腰三角形OPS中，根据余弦定理得：cos∠POS=(OP2+OS2-PS2)/(2•OP•OS)=(1)/(3)
可得OP=OS=3
∵Rt△POB中，OB=(1)/(2)AB=3
∴PB=√(OB2+OP2)=3√(2)
在△PDB中，PB²+PD²=36=BD²
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB=3√(2)，AN=

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√(3)

3

33AB=6√(3)⇒MN=(1)/(3)AC=2√(3)
∵正三棱锥P-ABD、S-BCD是两个全等的三棱锥
∴两条高PN、SM平行且相等
可得四边形PSMN是矩形，所以PS=MN=2√(3)
∵两个正三棱锥的侧棱长都相等
∴等腰三角形OPS中，根据余弦定理得：cos∠POS=(OP2+OS2-PS2)/(2•OP•OS)=(1)/(3)
可得OP=OS=3
∵Rt△POB中，OB=(1)/(2)AB=3
∴PB=√(OB2+OP2)=3√(2)
在△PDB中，PB²+PD²=36=BD²
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB=3√(2)，AN=

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√(3)

3

33⇒MN=(1)/(3)AC=2√(3)
∵正三棱锥P-ABD、S-BCD是两个全等的三棱锥
∴两条高PN、SM平行且相等
可得四边形PSMN是矩形，所以PS=MN=2√(3)
∵两个正三棱锥的侧棱长都相等
∴等腰三角形OPS中，根据余弦定理得：cos∠POS=(OP2+OS2-PS2)/(2•OP•OS)=(1)/(3)
可得OP=OS=3
∵Rt△POB中，OB=(1)/(2)AB=3
∴PB=√(OB2+OP2)=3√(2)
在△PDB中，PB²+PD²=36=BD²
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB=3√(2)，AN=

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(1)/(3)111333AC=2√(3)
∵正三棱锥P-ABD、S-BCD是两个全等的三棱锥
∴两条高PN、SM平行且相等
可得四边形PSMN是矩形，所以PS=MN=2√(3)
∵两个正三棱锥的侧棱长都相等
∴等腰三角形OPS中，根据余弦定理得：cos∠POS=(OP2+OS2-PS2)/(2•OP•OS)=(1)/(3)
可得OP=OS=3
∵Rt△POB中，OB=(1)/(2)AB=3
∴PB=√(OB2+OP2)=3√(2)
在△PDB中，PB²+PD²=36=BD²
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB=3√(2)，AN=

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√(3)

3

33
∵正三棱锥P-ABD、S-BCD是两个全等的三棱锥
∴两条高PN、SM平行且相等
可得四边形PSMN是矩形，所以PS=MN=2√(3)
∵两个正三棱锥的侧棱长都相等
∴等腰三角形OPS中，根据余弦定理得：cos∠POS=(OP2+OS2-PS2)/(2•OP•OS)=(1)/(3)
可得OP=OS=3
∵Rt△POB中，OB=(1)/(2)AB=3
∴PB=√(OB2+OP2)=3√(2)
在△PDB中，PB²+PD²=36=BD²
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB=3√(2)，AN=

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√(3)

3

33
∵两个正三棱锥的侧棱长都相等
∴等腰三角形OPS中，根据余弦定理得：cos∠POS=(OP2+OS2-PS2)/(2•OP•OS)=(1)/(3)
可得OP=OS=3
∵Rt△POB中，OB=(1)/(2)AB=3
∴PB=√(OB2+OP2)=3√(2)
在△PDB中，PB²+PD²=36=BD²
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB=3√(2)，AN=

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(OP2+OS2-PS2)/(2•OP•OS)OP2+OS2-PS2OP2+OS2-PS2OP2+OS2-PS22+OS2-PS22-PS222•OP•OS2•OP•OS2•OP•OS=(1)/(3)111333
可得OP=OS=3
∵Rt△POB中，OB=(1)/(2)AB=3
∴PB=√(OB2+OP2)=3√(2)
在△PDB中，PB²+PD²=36=BD²
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB=3√(2)，AN=

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OB=(1)/(2)111222AB=3
∴PB=√(OB2+OP2)=3√(2)
在△PDB中，PB²+PD²=36=BD²
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB=3√(2)，AN=

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√(OB2+OP2)

OB2+OP2

OB2+OP2OB2+OP22+OP22=3√(2)

2

22
在△PDB中，PB²2+PD²2=36=BD²2
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB=3√(2)，AN=

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3√(2)

2

22，AN=

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