离散设函数g:S→Tf:T→S,证明f:T→S有一左逆函数当且仅当f是入射函数

Question

离散设函数g:S→T f:T→S,证明 f:T→S有一左逆函数当且仅当f是入射函数

Answer 1

说白了就是充分使用复合函数的3个定理:(入射=单射,同义词)
定理4 设f：X→Y,g：Y→Z,那么
（1）若g*f是单射,则f是单射.
（2）若g*f是满射,则g是满射.
（3）若g*f是双射,则f是单射,g是满射.
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先证必要性:f:T->S有左逆函数,根据左逆的定义可知,g*f=It
这里It是关于t的满射,根据定律4.1,f就单射函数.
再证充分性:f是单射,对于S中任意一个元素s都有s∈f(T)
因为g是一个函数:S->T,所以对于任意的s∈S,有g(s)=t,这里t是总满足f(t)=s的的元素,所以g*f(t)=g(f(t))=g(s)=t,所以对于任何t都有g*f=It,所以f的左逆存在,并且就是g.
证毕.