为提倡市民节约用水，中国水利部确定每年的3月22日至28日为“中国水周”，某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如图所示．将月用水量落入

Question

为提倡市民节约用水，中国水利部确定每年的3月22日至28日为“中国水周”，某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如图所示．
将月用水量落入各组的频率视为概率，并假设每月的用水量相互独立．

（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此，估计该地家庭的平均用水量及方差；
（2）求在未来连续3个月，有连续2个月的月用水量都不低于8吨，且另一个月的月用水量低于4吨的概率；
（3）①求月用水量低于8吨的概率；
②用X表示在未来3个月里用水量低于8吨的月数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．

Answer 1

（1）由频率分布图得：
用水量2吨的家庭为0.0375×4=0.15，
用水量6吨的家庭为0.0625×4=0.25，
用水量10吨的家庭为0.075×4=0.3，
用水量14吨的家庭为0.05×4=0.2，
用水量18吨的家庭为0.025×4=0.1，
∴该地家庭的平均用水量的估计值为：2×0.15+6×0.25+10×0.3+14×0.2+18×0.1=9.4．
该地家庭的用水量方差的估计值为：（2-9.4）²×0.15+（6-9.4）²×0.25+（10-9.4）²×0.3+（14-9.4）²×0.2+（18-9.4）²×0.1=22.84．
（2）在未来连续3个月，有连续2个月的月用水量都不低于8吨，且另一个月的月用水量低于4吨的概率：
P=0.15×0.6×0.6+0.6×0.6×0.15=0.108．
（3））①月用水量低于8吨的概率P′=0.15+0.25=0.4．
②由题意得X的可能取值为0，1，2，3，且X～（3，0.4），
P（X=0）=

C

0 3

0．63=0.216，
P（X=1）=

C

1 3

0.4×0．62=0.432，
P（X=2）=

C

2 3

×0．42×0.6=0.288，
P（X=3）=

C

3 3

0．43=0.064，
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

数学期望E（X）=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2．