切蛋糕问题,改刀叔为n,块数是什么?要有n的代数式!

Question

切蛋糕问题,改刀叔为n,块数是什么?要有n的代数式!

Answer 1

由于刀数较多,难于清点判断,故必须探求一般规律.为此,我们来看一看下图中的几个特殊事例,由于问的是最多分成几块,不难从图中看出切法应具有如下规律：任何二条切痕两两不平行,任何三条切痕不共点.
然后我们再来看一看按照上述切法,所得块数的规律：
刀数
块数
规律
1
2
2=1+1
2
4
4=1+1+2
3
7
7=1+1+2+3
4
11
11=1+1+2+3+4
5
16
16=1+1+2+3+4+5
…
…
…
由上面的规律猜想,若切n刀.则块数应为 ,此公式可用数学归纳法证明.
利用上面的公式,我们很容易解决上面提出的两个问题：
①已知蛋糕分成211块,故
.解得n=20或n=-21,由于刀数是自然数,所以n=20（刀）.
② 已知切2000刀,故
像上述通过有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法.我们可通过下表并利用归纳法来猜想切痕的交点,切痕相互分成的线段的一般规律：
刀数
1
2
3
4
5
...
n
交点个数
0
1
3
6
10
...
线段条数
1
4
9
16
25
...