（2012•卢湾区一模）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB边上一点，EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH=∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N．（1）如图a，当点H与点F重合时，求BE的长；（2）如图b，当

Question

（2012•卢湾区一模）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB边上一点，EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH=∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N．
（1）如图a，当点H与点F重合时，求BE的长；
（2）如图b，当点H在线段FD上时，设BE=x，DN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）连接AC，当△FHE与△AEC相似时，求线段DN的长．

Answer 1

（1）∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠AEF=∠BEC，
∴∠AEF=∠BEC=45°，
∵∠B=90°，
∴BE=BC，
∵BC=3，
∴BE=3；

（2）过点E作EG⊥CN，垂足为点G，
∴四边形BEGC是矩形，
∴BE=CG，
∵AB∥CN，
∴∠AEH=∠ENC，∠BEC=∠ECN，
∵∠AEH=∠BEC，
∴∠ENC=∠ECN，
∴EN=EC，
∴CN=2CG=2BE，
∵BE=x，DN=y，CD=AB=4，
∴y=2x-4（2≤x≤3）；

（3）∵∠BAD=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠CEB=90°，
∴∠AFE=∠CEB，
∴∠HFE=∠AEC，
当△FHE与△AEC相似时，
（ⅰ）若∠FHE=∠EAC，
∵∠BAD=∠B，∠AEH=∠BEC，
∴∠FHE=∠ECB，
∴∠EAC=∠ECB，
∴tan∠EAC=tan∠ECB，
∴(BC)/(AB)＝(BE)/(BC)，
∵AB=4，BC=3，
∴BE=(9)/(4)，
∵设BE=x，DN=y，y=2x-4，
∴DN=(1)/(2)；
（ⅱ）若∠FHE=∠ECA，如所示，设EG与AC交于点O，
∵EN=EC，EG⊥CN，
∴∠1=∠2，
∵AH∥EG，
∴∠FHE=∠1，
∴∠FHE=∠2，
∴∠2=∠ECA，
∴EO=CO，
设EO=CO=3k，则AE=4k，AO=5k，
∴AO+CO=8k=5，
∴k=(5)/(8)，
∴AE=(5)/(2)，BE=(3)/(2)，
∴DN=1，
综上所述，线段DN的长为(1)/(2)或1时△FHE与△AEC相似．