设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．

Question

设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．

Answer 1

证明：作AD、BO的延长线相交于G，
∵OE∥GA，
∴在△CGA中，(OF)/(OM)=(GD)/(GA)，
又在△BGA中，(OM)/(OE)=(GD)/(GA)，由此得(OF)/(OM)=(OM)/(OE)，而OM是⊙O的半径，
∴OM=OP，
∴(OF)/(OP)=(OP)/(OE)，
∴△POE∽△POF，
∴∠OPF=∠OEP．