如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：ABDF−ADDE＝2．

Question

如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：(AB)/(DF)−(AD)/(DE)＝2．

Answer 1

证明：延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．
在△EIH中，由于DF∥IH，
∴(IH)/(DF)=(EI)/(ED)．
∵IH=AB，∴(AB)/(DF)=(EI)/(ED)，
从而，(AB)/(DF)-(AD)/(DE)=(EI)/(ED)-(AD)/(ED)=(EI−AD)/(ED)=(ED+AI)/(ED)=1+(AI)/(ED)．①
在△OED与△OBH中，
∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，
∴△OED≌△OBH（AAS）．
从而DE=BH=AI，
∴(AI)/(ED)=1．②
由①，②得(AB)/(DF)-(AD)/(DE)=2．