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如图所示,▱ABCD中,AC与BD交于O点,E为AD延长线上一点,OE交CD于F,EO延长线交AB于G.求证:ABDF−ADDE=2.
题目详情
如图所示,▱ABCD中,AC与BD交于O点,E为AD延长线上一点,OE交CD于F,EO延长线交AB于G.求证:
−
=2.
AB |
DF |
AD |
DE |
▼优质解答
答案和解析
证明:延长CB与EG,其延长线交于H,如虚线所示,构造平行四边形AIHB.
在△EIH中,由于DF∥IH,
∴
=
.
∵IH=AB,∴
=
,
从而,
-
=
-
=
=
=1+
.①
在△OED与△OBH中,
∠DOE=∠BOH,∠OED=∠OHB,OD=OB,
∴△OED≌△OBH(AAS).
从而DE=BH=AI,
∴
=1.②
由①,②得
-
=2.
在△EIH中,由于DF∥IH,
∴
IH |
DF |
EI |
ED |
∵IH=AB,∴
AB |
DF |
EI |
ED |
从而,
AB |
DF |
AD |
DE |
EI |
ED |
AD |
ED |
EI−AD |
ED |
ED+AI |
ED |
AI |
ED |
在△OED与△OBH中,
∠DOE=∠BOH,∠OED=∠OHB,OD=OB,
∴△OED≌△OBH(AAS).
从而DE=BH=AI,
∴
AI |
ED |
由①,②得
AB |
DF |
AD |
DE |
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