（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之

Question

（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2√(3)的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是

2√(2)

2√(2)

．

Answer 1

由题意可知，OM=2√(3)，点N在直线y=-x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=√(2)OM=√(2)×2√(3)=2√(6)．

如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B₀，动点P在N点（终点）时，点B的位置为B_n，连接B₀B_n
∵AO⊥AB₀，AN⊥AB_n，∴∠OAC=∠B₀AB_n，
又∵AB₀=AO•tan30°，AB_n=AN•tan30°，∴AB₀：AO=AB_n：AN=tan30°（此处也可用30°角的Rt△三边长的关系来求得），
∴△AB₀B_n∽△AON，且相似比为tan30°，
∴B₀B_n=ON•tan30°=2√(6)×(√(3))/(3)=2

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