在△ABC中，CA=CB，CD为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E，使∠CPE=12∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G．（1）如果∠ACB=90°，①如图1，当

Question

在△ABC中，CA=CB，CD为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E，使∠CPE=(1)/(2)∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G．
（1）如果∠ACB=90°，
①如图1，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；
②如图2，当点P不与点A重合时，求(CF)/(PE)的值；
（2）如果∠CAB=a，如图3，请直接写出(CF)/(PE)的值．（用含a的式子表示）

Answer 1

（1）①作图，如图1所示．

△ADE（或△PDE）与△CDG全等．
提示：只需证AD=CD，∠EAD=22.5°，∠ECF=22.5°即可；
②过点P作PN∥AG交CG于点N，交CD于点M，如图2，

则有∠CPM=∠CAB．
∵∠CPE=(1)/(2)∠CAB，
∴∠CPE=(1)/(2)∠CPN，
∴∠CPE=∠FPN．
∵PF⊥CG，∴∠PFC=∠PFN=90°．
在△PFC和△PFN中，

∠CPF=∠NPF

PF=PF

∠PFC=∠PFN

，
∴△PFC≌△PFN，
∴CF=FN，PC=PN．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴∠A=∠B=45°，∠ADC=90°．
∵PN∥AB，
∴∠CPN=∠A=45°，∠PMC=∠ADC=90°．
∴∠PCN=∠PNC=67.5°，∠ACD=∠A=45°，
∴∠MCN=22.5°．
∵∠CPE=(1)/(2)∠CAB=22.5°，
∴∠EPM=22.5°，
∴∠EPM=∠MCN=22.5°．
∵∠CPM=∠PCM=45°，
∴PM=CM．
在△PME和△CMN中，

∠EPM=∠MCN

PM=CM

∠EMP=∠NMC

，
∴△PME≌△CMN，
∴PE=CN，
∴(CF)/(PE)=(CF)/(CN)=(1)/(2)；

（2）(CF)/(PE)=(1)/(2)tanα．
提示：过点P作PN∥AG交CG于点N，交CD于点M，如图3，

同（1）②可得CF=(1)/(2)CN．
易证△CMN∽△PME，
则有(CN)/(PE)=(CM)/(PM)．
∵tan∠CPN=(CM)/(PM)，∠CPM=∠A=α，
∴tanα=(CM)/(PM)=(CN)/(PE)=(2CF)/(PE)，
∴(CF)/(PE)=

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