在正方形ABCD中，将∠ADC绕点D顺时针旋转一定角度，使角的一边与BC的交点为点F，且CF=12BF，另一边与BA的延长线交于点E，连接EF，与BD交于点M．∠BEF的角平分线交BD于点G，过点G作GH⊥AB于H．

Question

在正方形ABCD中，将∠ADC绕点D顺时针旋转一定角度，使角的一边与BC的交点为点F，且CF=(1)/(2)BF，另一边与BA的延长线交于点E，连接EF，与BD交于点M．∠BEF的角平分线交BD于点G，过点G作GH⊥AB于H．在下列结论中：（1）(s△BME)/(s△BFD)＝(7)/(9)；（2）DG=DF；（3）∠BME=90°；（4）HG+(1)/(2)EF=AD．正确的个数有（　　）

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

作MQ⊥AB于点Q，
假设CF=x，则BF=2x，BE=4x，AE=x，
∵AD∥BC，
∴(EA)/(EB)=(AW)/(BF)，
∴(x)/(4x)＝(AW)/(2x)，
∴AW=(x)/(2)，
∴DW=(5)/(2)x，
∵AD∥BC，
∴(DW)/(BF)＝(DM)/(BM)，
∴((5x)/(2))/(2x)＝(DM)/(3√(2)x−DM)，
解得：DM=(5√(2))/(3)x，
∴BM=(4√(2))/(3)x，
∴QM=(4)/(3)x，
∴S_△BME=(1)/(2)×MQ×BE=(8)/(3)x²，
S_△BDF=(1)/(2)×2x×3x=3x²，
∴(S△BME)/(S△BFD)=(8)/(9)，
∴故（1）(s△BME)/(s△BFD)＝(7)/(9)错误；

∵在正方形ABCD中，将∠ADC绕点D顺时针旋转一定角度，使角的一边与BC的交点为点F，
∴DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
∵∠BEF的角平分线交BD于点G，
∴∠FEG=∠BEG，
∵∠DEG=∠DEF+∠FEG=45°+∠FEG，
∵∠EGD=∠ABD+∠BEG=45°+∠BEG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴ED=DG，
∴DG=DF，故（2）正确；

∵∠MBF+∠MFB=∠BME，
∵∠MBF=45°，
∵BF≠BE，
∴∠BFE≠45°，
∴∠MBF+∠MFB=∠BME≠90°，
故（3）错误；

延长EG到BC于点S，作SZ⊥EF于点Z，
∵CF=(1)/(2)BF，
∴设FC=x，BF=2x，
∴AB=AD=3x，
∵将∠ADC绕点D顺时针旋转一定角度，使角的一边与BC的交点为点F，
∴可以得出AD=DC，DE=DF，
∠EAD=∠C=90°，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=FC=x，
∴EB=4x，
∴EF=√(EB2+FB2)=2√(5)x，
∵∠BEF的角平分线交BD于点G，
∴BS=SZ，
sin∠ZFS=(SZ)/(SF)=(EB)/(EF)=(4x)/(2√(5)x)，
∴(SZ)/(BF−BS)=(4x)/(2√(5)x)，
∴(SZ)/(2x−SZ)=(4)/(2√(5))，
解得：SZ=（4√(5)-8）x，
∵HG∥BS，
∴(HG)/(BS)=(EH)/(EB)，
∴(HG)/((4√(5)−8)x)=(4x−HG)/(4x)，
解得：HG=（3-√(5)）x，
∴2HG+EF=（6-2√(5)）x+2√(5)x=6x，
2AD=6x，
∴2HG+EF=2AD，
∴HG+(1)/(2)EF=AD，
故（4）正确．
故选C．