如图所示，AC为光滑的水平桌面，轻弹簧的一端固定在A端的竖直墙壁上．质量m=1kg的小物块将弹簧的另一端压缩到B点，之后由静止释放，离开弹簧后从C点水平飞出，恰好从D点以vD=10m/s的速度

Question

如图所示，AC为光滑的水平桌面，轻弹簧的一端固定在A端的竖直墙壁上．质量m=1kg的小物块将弹簧的另一端压缩到B点，之后由静止释放，离开弹簧后从C点水平飞出，恰好从D点以v_D=√(10)m/s的速度沿切线方向进入竖直面内的光滑圆弧轨道DEF（小物体与轨道间无碰撞）．O为圆弧轨道的圆心，E为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道的半径R=1m，∠DOE=60°，∠EOF=37°．小物块运动到F点后，冲上足够长的斜面FG，斜面FG与圆轨道相切于F点，小物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.5．sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．不计空气阻力．求：

（1）弹簧最初具有的弹性势能；
（2）小物块第一次到达圆弧轨道的E点时对圆弧轨道的压力大小；
（3）判断小物块沿斜面FG第一次返回圆弧轨道后能否回到圆弧轨道的D点？若能，求解小物块回到D点的速度；若不能，求解经过足够长的时间后小物块通过圆弧轨道最低点E的速度大小．

Answer 1

（1）设小物块在C点的速度为v_C，则在D点有：v_C=v_Dcos60°
设弹簧最初具有的弹性势能为E_p，则：E_P=(1)/(2)mv_C²
代入数据联立解得：E_p=1.25J
（2）设小物块在E点的速度为v_E，则从D到E的过程中有：
   mgR（1-cos60°）=(1)/(2)mv_E²-(1)/(2)mv_D²
设在E点，圆轨道对小物块的支持力为N，则有：N-mg=m(v2E)/(R)
代入数据解得：v_E=2√(5)m/s，N=30N
由牛顿第三定律可知，小物块到达圆轨道的E点时对圆轨道的压力为30 N．
（3）设小物体沿斜面FG上滑的最大距离为x，从E到最大距离的过程中有：
-mgR（1-cos37°）-（mgsin37°+μmgcos37°）x=0-(1)/(2)mv_E²
小物体第一次沿斜面上滑并返回F的过程克服摩擦力做的功为W_f，则
   W_f=2xμmgcos37°
小物体在D点的动能为E_KD，则：E_KD=(1)/(2)mv_D²
代入数据解得：x=0.8m，W_f=6.4J，E_KD=5J
因为E_KD<W_f，故小物体不能返回D点．
小物体最终将在F点与关于过圆轨道圆心的竖直线对称的点之间做往复运动，小物体的机械能守恒，设最终在最低点的速度为v_Em，则有：
    mgR（1-cos37°）=(1)/(2)mv_Em²
代入数据解得：v_Em=2 m/s
答：
（1）弹簧最初具有的弹性势能为1.25J；
（2）小物块第一次到达圆弧轨道的E点时对圆弧轨道的压力大小是30 N；
（3）小物块沿斜面FG第一次返回圆弧轨道后不能回到圆弧轨道的D点．经过足够长的时间后小物块通过圆弧轨道最低点E的速度大小为2 m/s．