游戏大厅内悬挂着100个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,十分漂亮.将这些灯泡按1~100编号后,依照这样的规则进行游戏：第1秒,全部灯泡变亮第2秒,编号为2的倍数的灯泡由亮变暗第3秒,编号为3的倍

Question

游戏大厅内悬挂着100个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,十分漂亮.将这些灯泡按1~100编号后,依照这样的 规则进行游戏：
第1秒,全部灯泡变亮
第2秒,编号为2的倍数的灯泡由亮变暗
第3秒 ,编号为3的倍数的灯泡改变明暗状态,即亮的变暗,暗的变亮
第4秒,编号为4的倍数的灯泡改变明暗状态
…….
第100秒,编号为100的倍数的灯泡改变明暗状态.
你能很快想出100秒后,亮着的灯泡有多少个吗?

Answer 1

分析与解 在解答这个问题时,我们要用到这样一个知识：任何一个非平方数,它的全体约数的个数是偶数；任何一个平方数,它的全体约数的个数是奇数.例如,6和18都是非平方数,6的约数有：1、2、3、6,共4个；18的约数有1、2、3、6、9、18,共6个.它们的约数的个数都是偶数.又例如,16和25都是平方数,16的约数有：1、2、4、8、16,共5个；25的约数有1、5、25,共3个.它们的约数的个数都是奇数.
回到本题.本题中,最初这些灯泡都是暗的.第一秒,所有灯都变亮了；第2秒,编号为2的倍数（即偶数）的灯由亮变暗；第3秒,编号为3的倍数的灯改变原来的亮暗状态,就是说,3号灯由亮变暗,可是6号灯则由暗变亮,而9号灯却由亮变暗…….这样推下去,很难理出个头绪来.
正确的解题思路应该是这样的：凡是亮暗变化是偶数次的灯,一定回到最初状态,即是暗着的.只有亮暗变化是奇数次的灯,才是亮着的.因此,只要考虑从第1秒到第200秒这段时间,每盏灯变化次数的奇偶性就可判断灯的亮暗状态.
一个号码为a的灯,如果有7个约数,那么它的亮暗变化就是7次,所以每盏灯在第200秒时是亮还是暗决定于每盏灯的编号的约数是奇数还是偶数.我们已知道,只有平方数的全部约数的个数是奇数.这样1～100之间,只有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100这10个数为平方数,因而这些号码的灯是亮着的,而其余各盏灯则都是暗着的.