（2012•历下区一模）已知：如图，平面直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（P与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L

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（2012•历下区一模）已知：如图，平面直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（P与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当

点P运动到点P₁位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1
（1）BC、AP₁的长；
（2）①求过B、P₁、D三点的抛物线的解析式；
②求当⊙P与抛物线的对称轴相切时⊙P的半径r的值；
（3）以点E为圆心作⊙E与x轴相切，当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3：5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何？并说明理由．

▼优质解答

答案和解析

（1）∵点在直线y=2x+1上，
∴B（0，1）．

又∵A（0，3），
∴AB=2，BC=2AB=4．
∵P₁为圆心，F₁为P₁与直线AC的切点，
∴P₁F₁⊥AC，∠BAF₁+∠ABF₁=90°．
又∵∠AP₁F₁+∠ABF₁=90°，
∴∠AP₁F₁=∠BAF₁．
在Rt△ABC和Rt△P₁AB中，
∵∠BP₁A=∠CAB，
∴Rt△BP₁A∽Rt△CAB．
∴

AP1

，AP₁=

AB2

=1；

（2）易求B（0，1）、P₁（1，3）、D（4，3）．
设过B、P₁、D三点的抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c（a≠0），则

1=c

3=a+b+c

3=16a+4b+c

，
解得，

a=-

c=1

，
所以抛物线解析式为：y=-

x²+

x+1；
②在Rt△ABP₁中，∵AB=2，AP₁=1，
∴BP₁=

，
当⊙P和⊙E相切时，PF=PE-EF=

-1；
∵抛物线解析式为y=-

x²+