1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约分数，则这1998个有理数的和为多少？过程……

Question

1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约分数，则这1998个有理数的和为多少？
过程……

Answer 1

设这1998个互不相等的有理数分别为：a1，a2，a3，...，a1997，a1998，它们的总和是M，则有
M=a1+a2+a3+...+a1997+a1998，
由于3998=1999×2，1999与2均为质数，且每1997个的和都是“分母为3998的既约真分数”,所以每1997个的和的分子是除1999外的奇数1、3、5、...、1997、2001、2003...3997，共有1998个。
每1997个的和之总和是：
(M-a1)+(M-a2)+(M-a3)+...+(M-a1998)
=(1+3+5+...+1997+2001+...+3997)/3998
上式左端
1998M-(a1+a2+a3+...+a1998)=1997M，
右端分子=1+3+5+...+1997+2001+...+3997=1+3+5+...+3997-1999
=(1+3997)*1999/2-1999
=1999^2-1999
=1999(1999-1)
=1999*1998
由上得
1997M=1999*1998/3998=1999*1998/(1999*2)=999
解得：M=999/1997。
公式：
1+3+5+...+2n-1=(1+2n-1)*n/2=n^2。