若A,B,C,D是互不相等的整数,且整数X满足等式(X-A)(X-B)(X-C)(X-D)=9.求证:4|(A+B+C+D)

Question

若A,B,C,D是互不相等的整数,且整数X满足等式(X-A)(X-B)(X-C)(X-D)=9.求证:4|(A+B+C+D)

Answer 1

因为(X-A)(X-B)(X-C)(X-D)=9,且(X-A)、(X-B)、(X-C)、(X-D)为四个不相等的整数.
要四个不相等的整数相乘等于9,这四个数只能是－3、－1、1、3
所以(X-A)＋(X-B)＋(X-C)＋(X-D)＝（－3）＋（－1）＋1＋3
所以(X-A)＋(X-B)＋(X-C)＋(X-D)＝0
即 4X＝A＋B＋C＋D
因为X为整数,所以4X能被4整数
所以4|(A+B+C+D)