在第一卦限内作椭球面x^2+y^2+1/2z^2＝1的切平面,使它与三个坐标面所围成的四面体体积最小,求该切平面的方程

Question

在第一卦限内作椭球面
x^2+y^2+1/2z^2＝1的切平面,使它与三个坐标面所围成的四面体体积最小,求该切平面的方程

Answer 1

设F(x,y,z)= x^2+y^2+1/2*z^2-1=0,
求偏导,Fx=2x,Fy=2y,Fz=z,
在F(x,y,z)上一点(x0,y0,z0)处的切平面的法向量为(2x0,2y0,z0),切平面方程为：2x0*(x-x0)+2y0*(y-y0)+z0*(z-z0)=0,
2x*x0+2y*y0+z*z0-2x0^2-2y0^2-z0^0=0
2x*x0+2y*y0+z*z0-2=0,
切平面与z轴交点(0,0,2/z0),与x轴交点(1/x0,0,0),与y轴交点(0,1/y0,0)
切平面与坐标平面所围成的四面体体积V=1/2*1/x0*1/y0*1/3*2/z0=1/3*1/(x0*y0*z0),
当x0*y0*z0最大时,x0=y0=z0=√(2/5),体积V=1/3*5/2*√(5/2)=5/12*√10最小.
则切平面方程为：2x*√(2/5)+2y*√(2/5)+z*√(2/5)-2=0,即2x+2y+z-√10=0