△ABC中，AB=7，BC=8，CA=9，过△ABC的内切圆圆心，作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为．

Question

△ABC中，AB=7，BC=8，CA=9，过△ABC的内切圆圆心，作DE∥BC，分别与AB，A C相交于点D，E，则DE的长为______．

Answer 1

如图，设△ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的高为h_a，则
(1)/(2)aha＝S△ABC＝(1)/(2)(a+b+c)r，
所以(r)/(ha)＝(a)/(a+b+c)．
因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此(ha−r)/(ha)＝(DE)/(BC)，
所以DE＝(ha−r)/(ha)•a＝(1−(r)/(ha))a＝(1−(a)/(a+b+c))a=(a(b+c))/(a+b+c)，
故DE＝(8×(7+9))/(8+7+9)＝(16)/(3)．
故答案为(16)/(3)．